ملخص الفصل الأول المتجهات رياضيات 6 مقررات
مقدمة في المتجهات
الكميات القياسية و الكميات المتجهة :
كمية قياسية ( عددية ) :
هي التي تتحدد بالمقدار و الوحدة فقط مثل : الطول و الزمن
كمية متجهة :
الكميات المتجهة هي التي تتحدد بالمقدار و الاتجاه و نقطة التأثير مثل : الوزن ( الثقل ) - القوة - السرعة - العجلة
مكن تمثيل المتجه هندسيا بقطعة مستقيمة لها اتجاه ( قطعة مستقيمة متجهة ) أو سهم يظهر كلا من المقدار و الاتجاه . و يمثل الشكل المجاور القطعة المستقيمة المتجهة التي لها نفطقة البداية A و نقطة النهاية B و يرمز لهذا المتجه بالرمز AB
![](https://hulul.online/content/files/95e7cfb04fd18fe9d9f128afa05f9ab1.png)
أما طول المتجه : فهو عبارة عن طول القطعة المستقيمة التي نمثله غغي الشكل المجاور إذا كان مقياس الرسم هو 1سم
![](https://hulul.online/content/files/f82655b1e5ca8735f1aa5e41d2ecb1f6.png)
يكون المتجه في الوضع القياسي . إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة الاصل و يعبر عن اتجاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الافقي ( الاتجاه الموجب للمحورX ) فمثلا : اتجاه المتجه a هو 35
ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه ايضا باستعمال زاوية الاتجاه الربعي وقرأ فاي وهي زاوية قياسها 0 و 90 شرق أو غرب الخط الرأسي ( خط شمال - جنوب )
فمثلا زاوية الاتجاه الربعي للمتجه V في الشكل المجاور هي 35 جنوب شرق
كما يمكن استعمال زاوية الاتجاه الحقيقي حيث نقاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءا من الشمال و يقاس الاتجاه الحقيقي بثلاثة أرقام فمثلا يكتب الاتجاه الذي يحدد زاوية قياسها 25 من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال الاتجاه الحقيقي على الصورة 025
![](https://hulul.online/content/files/ac6db5ccfe5e2162ee4f85490bc61061.png)
قاعدة المثلث
لإيجاد محصلة المتجهين a.b اتبع الخطوات الآتية
الخطوة الاولى : أجر انسحابا للمتجهة b بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجهة a
الخطوة الثانية : محصلة المتجهين a ، b هي المتجهة المرسوم من نقطة بداية a إلى نقطة نهاية b
![](https://hulul.online/content/files/3d28501cd376d485558eccc8c91a875c.png)
قاعدة متوازي الأضلاع
لإيجاد محصلة المتجهين a ، b ابتع خطوات الآتية
الخطوة الاولى : أجر انسحابا للمتجهة b بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجهة a
الخطوة الثانية : أكمل رسم متوازي الاضلاع الذي ضلعاه a ، b
الخطوة الثالثة : محصلة المتجهين هي تلك المتجهة الذي يمثله قطر متوازي الاضلاع
![](https://hulul.online/content/files/b060433dafab9a60ca92be248619d275.png)
عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه ، فإن المحصلة هي المتجه الصفري
ويركز له بالرمز 0 و طوله صفر و ليس له اتجاه . و عملية طرح المتجهات تشبه عمليه طرح الاعداد . لإيجاد p-q اجمع المعكوس q
إلى : أي أن pp+(-q)=p-q
و كذلك يمكن ضرب المتجه في عدد حقيقي إذا ضرب المتجه v في عدد حقيقي k فإن طول المتجه kv هو /k//v و يتحدد بإشارة k
إذا كانت k>0 فإن اتجاه kv هو اتجاه v نفسه إذا كانت k<0 فإن اتجاه kv هو عكس اتجاه v
المتجهات في المستوى الإحداثي
مفهوم أساسي
الصورة الاحداثية لمتجه :
الصورة الإحداثية AB
الذي نقطة بدائية A( X1.Y1) و نقطة نهايته B( X2.Y2) هي :
(X2-X1.Y2-Y1)
![](https://hulul.online/content/files/db5df8d4419253f9bff6d10338f56223.png)
مفهوم أساسي
طول المتجه في المستوى الإحداثي :
إذا كان v متجها نقطة بدائية ( X1.Y1) و نقطة ( X2.Y2)
فإن طول v يعطى بالصيغة
![](https://hulul.online/content/files/d9fe639a7e791d39c23f047aefb06ae3.png)
جمع متجهين
a+b(a1+b1.a2+b2)
طرح متجهين
a - b(a1 - b1.a2 - b2)
العمليات على المتجهات
ضرب متجه في عدد حقيقي Ka=( ka1.ka2)
تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي و الجمع و الطرح على المتجهات العمليات نفسها على المصفوفات
مفهوم أساسي
الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي
يعرف الضرب الداخلي للمتجهين
a=(a1.a2). b (b1.b2)
a × b=a1 b1+a2 b2
مفهوم أساسي
المتجهان المتعامدان
يكون المتجهان غير الصفريين a.b متعامدين فقط إذا كان0 =a × b
الخاصية الإبدالية
u × v= u × v
خاصية التوزيع
u × (v+w)
u × v+u × w
خاصية الضرب في عدد حقيقي
K(U ×V)=Ku× v
u × Kv
خاصية الضرب الداخلي و طول المتجه
U ×U=U2
نظرية
خصائص الضرب الداخلي :
إذا كانت v. u . w متجهات وكان Kعددا حقيقيا فإن الخصائص الآتية صحيحة
المتجهات في الفضاء الثلاثي الابعاد
هو نظام إحداثس الابعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين هما المحور x و المحور y اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة الاصل و يسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى و تحتاج إلى نظام الإحداثيات الثلاثي الابعاد لتعيين نقطة في الفضاء مبدأ بالمستوى xy و نضعه بصورة تظهر للشكل ثم نضيف محورا ثالثا يسمى المحور z يمر بنقطة الاصل و يعامد كلا من المحورين y.x فيكون لدينا ثلاثة مستويات هي xy.zy.xz و تقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق
مفهوم أساسي
صيغتا المسافة و نقطة المنتصف في الفضاء
تعطي المسافة بين النقطتين
![](https://hulul.online/content/files/bf138a3a528137f9caa2efa14b453839.png)
مفهوم أساسي
العمليات على المتجهات في الفضاء
جمع متجهين
a+b=(a1+b1.a2+b2.a3+b3)
طرح متجهين
a - b=(a1 - b1.a2 - b2.a3 - b3)
ضرب منجه في عدد حقيقي
Ka=(Ka1.Ka2.Ka3 )
مفهوم أساسي
الضرب الداخلي و المتجهات المتعامدة في الفضاء
يعرف الضرب الداخلي للمتجهين
![](https://hulul.online/content/files/a8f62375ac7bfc06b77aa5d52d1819e6.png)
مفهوم أساسي
الضرب القياسي الثلاثي
![](https://hulul.online/content/files/68f47e86ee3a82a29d5e49c151e38643.png)