حل درس نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع والطرح رياضيات ثالث متوسط

حل درس نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع والطرح رياضيات ثالث متوسط

السؤال : تحقق من فهمك

أ- -4س +3ص = -3 

4س - 5ص = 5 

الجواب :

كلا معاملي 4س - 4 معكوس للآخر  

-4س +3= -3 

4س - 5 = 5    

_____________

-2 ص= 2

ص = -1 

بالتعويض في المعادلة الثانية 

4س  -5ص = 5

4س - -5 ( -1 ) = 5

4س + 5 = 5 

س = 0

الحل هو ( 0 ، -1 ) 

4س + 3س = 22

3س - 4ص = 14

الجواب :

كلا معاملي 4ص - 4 ص معكوس للآخر  

3س + 4ص = 22

3س -4ص = 14 

____________
6س +36 

س = 6 

بالتعويض في المعادلة الثانية 3س - 4ص = 146 ) - 4ص = 14 

 18 - 4ص = 14 

 -4ص = -4 

ص = 1 

 الحل (1،6 ) 

السؤال : أوجد العددين اللذين مجموعهما يساوي -10، وسالب ثلاثة أمثال العدد الأول ناقص العدد الثاني يساوي 2.

الجواب :

بما أن معاملي ص كل منهم معكوس للىخر 

س + ص = -10 

 -3س - ص = 2 

_____________

-2س = -8

س = 4

بالتعويض في المعادلة الاولى 

س +ص = -10

4 + ص = -10 

 ص = -14 

الحل هو ( 4 ، -14 ) 

السؤال : حل النظام : 

8ب + 3 جـ = 11

8ب + 7 جـ = 7

أ- ( 1،5 ، -1 ) 

ب - ( 1.75 ، -1 ) ( صح ) 

جـ - 1.75 ، 1 

د- 1.5 ، 1 

السؤال : حفلات: أقام مسفر ومحمود حفلاً بمناسبة نجاحهما، فإذا كان عدد الأصدقاء الذين دعاهم مسفر يقل بـ 5 عن الذين دعاهم محمود، وكان مجموع الأصدقاء المدعوين 47، فكم شخصاً دعا كل منهما؟

الجواب :

افترض ان عدد من دعاهم مسفر س ، عدد من دعاهم محمود ص 

س = ص - 5 ، س +ص = 47

ضع المعادلتين بشكل رأسي 

س - ص = -5 

س + ص = 47 

___________

2س = 42 

س = 21 

 بالتعويض في المعادلة الاولى 

س - ص = -5 

 21 - ص = -5 

ص = 26 

 عدد من دعاهم مسفر = 21 و عدد دعاهم محمود

تأكد

السؤال : حل كلا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

5م - ب = 7

7م - ب = 11

الجواب :

بما أن معاملي ب متماثلين اطرح المعادلتين 

5م - ب = 7

-7م - ب = 11 

____________

-2 م = -4 

م = 2

بالتعوبض في المعادلة الاولى

5 ( 2 ) - ب = 7

10 - ب = 7 

 ب = 3 

 الحل هو ( 2 ، 3 )

8س + 5 ص = 38 

-8س + 2ص = 4

الجواب :

كلا معاملي س معكوس للآخر ، اجمع المعادلتين 

8س + 5ص = 38

-8س +2ص = 4

_______________

7ص = 42

ص = 6 

بالتعويض في إحدى المعادلتين عن ص 

8س + 5 ( 6 ) = 38 

 8س + 30 = 38

8س = 8

س = 1 

 الحل هو ( 6،1 )
 

7ف + 3 جـ = -6 

7 ف - 2 جـ = -31 

الجواب :

كلا معاملي ف متماثلين اطرح المعادلتين 

7ف + 3 جـ = -6

7 ف - 2 جـ = -31 

______________

5جـ = 25

جـ = 5

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

7ف + 3 جـ = -6

7ف +3 ( 5 ) = -6 

7ف + 15 = -6

ف = -3

الحل هو ( -3 ، 5 ) 

السؤال : ما العددان اللذان مجموعهما 24، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني يساوي 12 ؟

الجواب :

س + ص = 24

5س - ص = 12

بجمع المعادلتين 

6س = 36 

س = 6 

 بالتعويض في المعادلة الاولى

6 +ص = 24 

 ص = 18
 

السؤال : طلاب: يزيد عدد طلاب المرحلة الإبتدائية في مدينة ما على عدد طلاب المرحلة المتوسطة بـ 18 ألف طالب . فإذا علمت أن عدد الطلاب في المرحلتين 44 ألف طالب ، فما عدد الطلاب في كل مرحلة؟

الجواب : 

افترض ان عدد طلاب المرحلة الابتدائية ب و عدد طلاب المرحلة المتوسطة م 

ب - م = 18

ب + م = 44

بجمع المعادلتين معا 

2 ب = 62 

 ب = 31 

بالتعويض في المعادلة الاولى

31 - م = 18

م = 13

عدد طلاب المرحلة الابتدائية 31 ألأف طالب 

عدد طلاب المرحلة المتوسطة 13 الف طالب

السؤال : حل كلا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

ف + و = 7

ف + و = 1

الجواب :

كلا معاملي ف معكوس للآخر اجمع المعادلتين 

-ف + و = 7

ف + و = 1

__________

2 و = 8 

و = 4 

بالتعويض في إحدى المعادلتين

-ف + و = 7

-ف + 4 = 7

ف = -3

الحل هو ( -3 ، 4 )

ص + ز = 4

ص - ز = 8

الجواب : 

كلا معاملي ز معكوس للآخر اجمع المعادلتين

ص + ز = 4

ص - ز = 8 

___________

2ص = 12

ص = 6

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

ص + ز = 4

6 + ز = 4

ز = -2 

 الحل هو ( 6 ، -2 )

-4 س + 5ص = 17

4س + 6ص = -6

الجواب : 

كلا معاملي س معكوس للأخر اجمع المعادلتين 

-4 س + 5 ص = 17

4س + 6ص = -6

_____________

11ص = 11

ص = 1

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

-4س + 5 = 17 

-4س = 12

س = -3

الحل هو ( -3 ، 1 )

أ + 4 ب = -4

أ +10 ب = -16

الجواب :

بما ان معاملي أ متماثلين اطرح المعادلتين

أ + 4 ب = -4

أ + 10 ب = -16

__________

-6ب = 12

ب = -2

بالتعويض في المعادلة الاولى

أ + 4 ب = -4

أ + 4 ( -2 ) = -4

أ = 4 

 الحل هو ( 4 ، 2- )

9س + 6ص = 78

3س - 6ص = -30

الجواب : 

كلا معاملي ص معكوس للآخر ، اجمع المعادلتين 

9س + 6ص = 78

3س - 6ص = -30

_________

12 ص = 48 

 = 4 

 بالتعويض في إحدى المعادلتين 

9 ( 4 ) + 6ص = 78

36 + 6 ص = 78

6ص = 42

ص = 7

الحل هو ( 4 ، 7 ) 

6س - 2ص = 1

10 س - 2ص = 5

الجواب : 

بما أن معاملي ص متماثلين اطرح المعادلتين 

6س - 2ص = 1

10س - 2ص = 5

___________
-4 س = -4

س = 1

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

6 ( 1 ) -2 ص = 1 

-2ص = 5

ص = 2.5

الحل هو ( 1 ، 2.5 ) 

السؤال :ما العددان اللذان مجموعهما 22 والفرق بينهما 12؟

الجواب : 

س + ص = 22 

 س - ص= 12

2س = 34 

س = 17 

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

17 + ص = 22 

ص = 5 

العددان هما 17 ، 5

السؤال :ما العددان اللذان مجموعهما 11 وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر يساوي -3؟

الجواب : 

س  +ص = 11

3س - ص = -3 

 4س = 8 

س = 2

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

2 + ص = 11

 ص = 9 

العددان هما 2 ، 9 

السؤال : شحن سيارات: يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى مدينة أخرى. أوجد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة 

الجواب : 

افترض ان اجرة السيارة الصغيرة  

و أجرة السيارة الكبيرة ص 

2س + 5 ص = 3800

2س + 3ص = 2600

2ص = 1200

ص = 600 

عوض في إحدى المعادلتين

2س + 5 ( 600 ) = 3800

2س + 3000 = 3800

2س = 800

س = 400

 أجرة السيارة الصغيرة = 400 ريال 

أجرة السيارة الكبيرة = 600 ريال 

السؤال : حل كلا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً طريقة الحذف:

4 ( س + 2 ص ) = 8 

 4س + 4ص = 12

الجواب : 

بسط المعادلة الاولى 

4س + 8 ص = 8

بما أن معاملي س متماثلين اطرح المعادلتين 

-4 ص = -4

ص = -1

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

4س + 4 ( -1 ) 

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

4س + 14 ( -1 ) = 12

4س - 4 = 12

4س = 16

س = 4 

 الحل هو : ( 4 ، -1 ) 

½ س + ⅔ ص = ¾ 2

¼ س - ⅔ ص ¼ 6

الجواب : 

½ س + ⅔ ص = ¾ 2

¼ س - ⅔ ص ¼ 6

بجمع المعادلتين

¾ س = 9

س = 12

بالتعويض في المعادلة

½ ( 12 ) + ⅔ ص = ¾ 2

⅔ ص = -¼ 3

ص = -7/8 4 

الحل هو ( 12 ، -7/8 4 )

4س + 3ص = 6

3س + 3ص = 7

الجواب : 

بما أن معاملي ص متماثلين اطرح المعادلتين 

4س + 3ص = 6

3س + 3ص = 7

_____________

س = 1 

بالتعويض في إحدى المعادلتين 

4 ( -1 ) + 3ص = 6

-4 + 3 ص = 6

3ص = 10

ص = 3.3 

السؤال : فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاعي برجي المملكة والفيصلية معاً 567 متراً، ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية بـ 33 متراً.

أ- ما ارتفاع برج المملكة ؟

ب- ما راتفاع برج الفيصلية ؟

س + ص = 567

س - ص = 33

_________ اجمع المعادلتين 

2س = 600

س = 300 

ب -  عوض في إحدى المعادلتين عن س 

300 + ص = 567

ص = 267

ارتفاع برج المملكة = 300 متر ، ارتفاع برج 

السؤال : سباق الدراجات: شارك 80 متسابقاً في سباق الدراجات الهوائئية ضمن ملتقى روائع جازان الرابع من فئتي الكبار والصغار. وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار بـ 10.

أ- افترض ان س عدد المشاركين في فئة الصغار ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار ثم اكتب نظاما من معادلتين يمثل هذا الموقف 

ب - اسعتمل الحذف لحل هذا النظام

ج- فسر الحل في سياق هذا الموقف 

د- مثل هذا النظام بيانيا للتأكد من صحة الحل 

الجواب : 

 أ- س - ص = 10 

س + ص = 80

ب - اجمع المعادلتين

س - ص = 10

س + ص = 80

__________
2س = 90

س = 45

عوض في إحدى المعادلتين 

45 - ص = 10

ص = 35

ج- عدد المشاركين في فئة الصغار = 45 مشارك 

س - ص = 10

عند س = 0     ص= -10 النقطة ( 0 ، -10 ) 

ص = 5  س = 10 النقطة ( 10 ، 0 ) 

س + ص = 80 

عند س = 0 

 ص= 80 النقطة ( 0 ، 80 ) 

 ص = 0 

 س = 80 النقطة ( 80 ، 0 ) 

السؤال : تمثيلات متعددة: لديك 9 قطع نقد ، 9 مشابك ورق، استعمل 9 منها على الأكثر لإنشاء عدد معين من النقاط، وافترض أن كل مشبك قيمته نقطة واحدة وكل قطعة نقد قيمتها 3 نقاط ، وأن ن تمثل قطعة نقد، م تمثل مشبك ورق. فمثلاً :

أ- حسيا كيف يمكنك ان تحصل على 15 نقطة مستعملا كلا النوعين ؟ قارن النمط الذي حصلت عليه بما حصل عليه زملاؤك ؟ 
 

الجواب : 

للحصول على 15 نقطة : 4 ن + 3 م = 15 هناك أكثر من نموذج صحيح و يحقق النظام و لكن يختلف في عدد القطع 

مثلا : 4 قطع نقد ، 3 مشابك 

ب- تحليليا مستعملا ؟ 9 قطع اكتب نظاما مت معادلتين و حله لإيجاد عدد مشابك الورق و قطع النقد اللازمة للحصول على 15 نقطة 

الجواب : 

3س + ص = 15

س + ص = 9

س = 3

 3 ( 3 ) + ص = 15 

9 + ص = 15

ص = 6 

 عدد القطع النقدية 3 قطع بـ 9 نقاط 

ج- جدوليا : انشئ جدولا يبين عدد مشابك الورق المستعملة و العدد الكلي للنقاط 

الجواب : 

د- لفظيا : هل تتطابق النتيجة في الجدول مع نتيجة ( الإجابة عن الفرع ب ) ؟ فسر إجابتك 

الجواب : نعم ، بما أن قطعة النقد تعادل 3 نقاط فإن 3 قطع منها تعادل 9 نقاط يضاف إليها 6 نقاط من 6 مشابك ورق فنحصل على 15 نقطة

السؤال : مسألة مفتوحة: أنشىء نظاماً من معادلتين يمكن حله بحذف أحد متغيريه باستعمال الجمع ، ثم أكتب قاعدة عامة لإنشاء مثل هذه الأنظمة.

الجواب :

المعادلتين  : 4س + ص = 12

2س - ص = 8

يجب لعمل نظام يمكن حله بالحذف بالجمع ان يكون هناك متغير معامله في إحدى المعادلتين ساوي معكوس معامله في المعادلة الاخرى

السؤال :تبرير: إذا كانت النقطة (-3 ، 2) تمثل حل نظام معادلتين ، وكانت إحدى معادلتيه هي س + 4ص = 5 ، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام، وفسر كيف توصلت إليها .

الجواب : 

المعادلة الثانية  توصلت لها بوضع س بمعكوس معاملها في المعادلة المعطاة ثم التعويض عن ص بـ 2 في المعادلة للحصول على ناتج المعادلة الثانية 

السؤال : تحد : إذا كان ناتج ضرب عدد 7 يساوي 182 و مجموع رقميه يساوي 8 فحدد المتغيرات و اكتب نظاما من معادلتين يمكنك  استعماله لإيجاد هذا العدد ثم حل النظام و أوجد العدد

الجواب : 

ليكن أ يمثل رقم الآحاد في العدد ، ب يمثل رقم العشرات في العدد فيكون 

أ +ب = 8 

 7 ( أ + 10 ب ) = 182 

 العدد هو 26

السؤال : اكتب: بين متى يكون من المفيد استعمال الحذف لحل نظام من معادلتين.

الجواب : 

عندما يكون في المعادلتين معامل متغير في إحدى المعادلات معكوس معامل نفس المتغير في المعادلة الاخرى يفضل الحل بالحذف لجعل المعادلة بها متغير واحد

السؤال : إذا استمر النمط الاتي ، فما العدد الثامن؟

2 ، 3 ، 9/2 ، 27/4 ، 81/8، ……

أ- 2187 /64 ( صح ) 

ب- 2245/64

ج- 2445/64

السؤال : ما حل نظام المعادلتين الآتيين ؟

س + 4 ص = 1

2س - 3ص = -9

أ- 0.1 

ب - -3 ، 1  ( صح ) 

ج- ليس له حل 

د- يوجد عدد لا تهائي من الحلول 

السؤال :حل كلا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملاً التعويض، وبين ما إذا كان للنظام حل واحد، أم عدد لانهائي من الحلول، أم ليس له حل:

ص = 6س 

 2س + 3ص = 40

الجواب : 

عوض عن ص في المعادلة الثانية 

2س + 3 ( 6 س ) = 40

2س + 18 س = 40

20س = 40 

 س = 2 

عوض عن س في المعادلة الاولى 

ص = 6 ( 2 ) = 12

لها حل وحيد ( 2 ، 12 ) 

س = 3س 

2س + 3ص = 45

عوض عن ص في المعادلة الثانية 

2 ( 3ص ) + 3ص = 45 

 6ص + 3 ص = 45 

 9ص = 45 

 ص = 5 

 عوض عن ص في المعادلة الاولى

س = 3 ( 5 ) = 15 

 لها حل وحيد ( 15 ، 5 ) 

س = 5ص + 6

س = 5ص - 2

الجواب :

عوض عن س في المعادلة الثانية 

5ص + 6 = 5ص - 2

6 = -2

ليس لها حل

السؤال : توفير: يرغب كل من وائل ورياض في شراء دراجة وقد وفر وائل حتى الآن 35 ريالاً ويخطط لتوفير 10 ريالات كل أسبوع. أما رياض فلديه الآن 26 ريالاً ويخطط لتوفير 13 ريالاً في الأسبوع.

أ- بعد كم اسبوع يصبح مجموع ما وفره كل منهما متساويا ؟ 

الجواب :

افترض ان عدد الاسابيع س 

10 س+ 35 = 13 س + 26 

 13 س - 10 س = 35 - 26 

3س = 9

س = 9 

بعد 3 اسابيع يصبح مجموع ما وفره كل منمها متساوي

ب -ما مقدار ما يوفره كل منهما حتى ذلك الوقت ؟ 

الجواب :

ما يرفره كل منمها = 10 ( 3 ) + 35 = 30 +35 = 65 ريال 

السؤال : هندسة بين ما إذا كان الشكل اب جـ د متوازي اضلاع ام لا ؟ و فسر إجابتك 

الجواب :

نعم الشكل أب جـ د متوازي اضلاع بما أن كل زوج من الاضلاع المتقابلة لهما الميل نفسه نفسه أو ميلهما غير معرف فإنهما متوازيان 

السؤال : حل كل معادلة فيما يأتي و تحقق من صحة الحل : 

6جـ = -48 

الجواب : جـ = -8 اقسم طرفي المعادلة على 6

2/9 أ = 8 

الجواب : 2أ = 24 اضرب الطرفين في 3

أ = 12 اقسم الطرفين على 2 

استعد للدرس اللاحق

السؤال : بسط كلا من العبارات التالية:

6ل - 3 + 7ب +1 

الجواب : 6ل + 7ب -2

7س^2  -9س +4س^2

الجواب : 11س2 - 9س 

10 ( 2+ر ) + 3 ر 

الجواب : 20 +10ر +3ر

20 +13 ر 

5ص - 7 ( ص + 5 ) 

الجواب : 5ص - 7ص - 35 

-2 ص - 35